Численное решение дифференциальных уравнений. Метод Эйлера. Усовершенствованный метод Эйлера.Классический метод Рунге-Кутты Численное дифференцирование метод эйлера
Главная » Монтаж » Численное решение дифференциальных уравнений. Метод Эйлера. Усовершенствованный метод Эйлера.Классический метод Рунге-Кутты Численное дифференцирование метод эйлера

Численное решение дифференциальных уравнений. Метод Эйлера. Усовершенствованный метод Эйлера.Классический метод Рунге-Кутты Численное дифференцирование метод эйлера

Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х) . Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

с начальным условием

x = x 0 , y (x 0 )= y 0 (3.2)

Требуется найти решение уравнения на отрезке [а , b ].

Разобьем отрезок [a , b ] на n равных частей и получим последовательность х 0 , х 1 , х 2 ,…, х n , где x i = x 0 + ih (i =0,1,…, n ), а h =(b - a )/ n − шаг интегрирования.

В методе Эйлера приближенные значения у(х i +1 ) y i +1 вычисляются последовательно по формулам:

y i+1 = у i +hf(x i , y i ) (i=0,1,2…) (3.3)

При этом искомая интегральная кривая у=у(х) , проходящая через точку М 0 0 , у 0 ), заменяется ломаной М 0 М 1 М 2 с вершинами М i (x i , y i ) (i =0,1,2,…); каждое звено М i M i +1 этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения (1), которая проходит через точку М i (см. рисунок 2):

Рисунок 2. Вид ломаной Эйлера

Модифицированный метод Эйлера более точен.Сначала вычисляются вспомогательные значения искомой функции у к+1/2 в точках х к+1/2 , затем находится значение правой части уравнения (3.1) в средней точке y k+1/2 =f( xk+1/2 , y k+1/2 ) и определяют у к+ :

Тогда:
(3.4)

Формулы (3.4) − рекуррентные формулы метода Эйлера.

Для оценки погрешности в точке х к проводят вычисления у к с шагом h , затем с шагом 2 h и берут 1/3 разницы этих значений:

,

где у(х) - точное решение дифференциального уравнения.

Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.

3.2. Метод Рунге-Кутта

Методы Рунге-Кутта обладают следующими свойствами:

    Эти методы являются одноступенчатыми: чтобы найти у к+1  нужна информация о предыдущей точке (x к y к )

    Методы согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка h p  где степень р различна для различных методов и называется порядковым номером или порядком метода

    Они не требуют вычисления производных от f(x y)  а требуют вычисления самой функции

Алгоритм Рунге-Кутта третьего порядка:

(3.5)

Алгоритм Рунге-Кутта четвертого порядка:

(3.6)

Алгоритмы третьего и четвертого порядков требуют на каждом шаге трех и четырех вычислений функции соответственно, но являются весьма точными.

3.3. Метод Адамса

Метод Адамса относится к многошаговым схемам решения ДУ, характеризующихся тем, что решение в текущем узле зависит от данных не в одном предыдущем или последующем узле сетки, как это имеет место в одношаговых методах, а зависит от данных в нескольких соседних узлах .

Идея методов Адамса заключается в том, чтобы для повышения точности использовать вычисленные уже на предыдущих шагах значения

Y k -1 , Y k -2 , Y k -3 …

Если используются значения в k предыдущих узлах, то говорят о k-шаговом методе интегрирования уравнения. Одним из способов построения многошаговых методов заключается в следующем. По значениям функции, вычисленным в k предшествующих узлах, строится интерполяционный полином степени (k-1) – L k -1 (x ) , который используется при интегрировании дифференциального уравнения по выражению:

Интеграл при этом выражается через квадратурную формулу:

где λ l – квадратурные коэффициенты.

Полученное таким образом семейство формул называется явной k -шаговой схемой Адамса . Как видно, при k =1 в качестве частного случая получается формула Эйлера.

Например, для формулы 4 порядка имеем:

(3.7)

y ( p ) k +1 – “прогноз” ,вычисленный с использованием значений в предыдущих точках, f ( p ) k +1 –приближенное значение функции,вычисленное в точке получения прогноза, y ( c ) k +1 – «коррекция» прогнозного значения, y k +1 – искомое значение по Адамсу.

Достоинство такого метода решения ДУ заключается в том, что в каждой точке рассчитывается только одно значение функции F(x,y). К недостаткам можно отнести невозможность старта многошагового метода из единственной начальной точки, так как для вычислений по k -шаговой формуле необходимо значение значения функции в k узлах. Поэтому приходится (k-1) решение в первых узлах x 1 , x 2 , …, x k-1 получать с помощью какого-либо одношагового метода, например метода Рунге-Кутта 4–го порядка.

Другой проблемой является невозможность изменения шага в процессе решения, что легко реализуется в одношаговых методах.

4. Краткое описание программы на C++ и представление результатов ее выполнения

Многие задачи науки и техники сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). ОДУ называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции. В общем виде

ОДУ можно записать в виде:

F x , y , y , y ,..., y

где x – независимая переменная,

y i - i -ая производная от

искомой функции, n – порядок уравнения. Общее решение ОДУ n -го порядка содержит n произвольных постоянных

c 1 , c 2 ,..., c n , т.е. общее решение имеет вид y x , c 1 , c 2 ,..., c n . Для выделения единственного решения необходимо задать n дополнительных условий. В зависимости от способа задания

дополнительных условий существуют два различных типа задач: задача Коши и краевая задача. Если дополнительные условия задаются в одной точке, то такая задача называется задачей Коши. Дополнительные условия в задаче Коши называются начальными условиями. Если же дополнительные условия задаются в более чем одной точке, т.е. при различных значениях независимой переменной, то такая задача называется краевой. Сами дополнительные условия называются краевыми или граничными.

Ясно, что при n 1 можно говорить только о задачи Коши. Примеры постановки задачи Коши:

dy x 2 y 3

y 1 1;

d 2 y dy

y 1 1,

dx 2 dx xy ,

y 1 0 .

Примеры краевых задач:

d 2 y

y sin x ,

y 0 1,

y 1 0

dx 2

d 3 y

d 2 y

y 1 0,

y 3 2 .

x x dx 2

dx ,

y 1 0,

Решить такие

аналитически удается лишь для

некоторых специальных типов уравнений, поэтому применение приближенных методов решения является необходимостью.

Приближенные методы решения задачи Коши для ОДУ первого порядка

Требуется найти решение y (x ) ОДУ первого порядка

f x, y

на отрезке x 0 , x n при условии

y x0 y0 .

Приближенное решение будем искать в узлах расчетной

xi x0 ih,

i 0,1,..., n с

xn x0

Необходимо найти

приближенные

значения в

узлах сетки

y i =y (x i ). Результаты расчетов занесем в таблицу

Интегрируя

уравнение на

отрезке x i , x i

1 , получим

x i 1

y i 1

yi f x, y dx .

Для того, чтобы найти все значения y i , нужно каким-то образом

вычислить интеграл, стоящий в правой части (5.4). Применяя различные квадратурные формулы, будем получать методы решения задачи (5.2), (5.3) разного порядка точности.

Метод Эйлера

Если для вычисления интеграла в (5.4) воспользоваться простейшей формулой левых прямоугольников первого порядка

Явный метод Эйлера имеет первый порядок аппроксимации. Реализация метода. Поскольку x 0 , y 0 , f x 0 , y 0

известны, применяя (5.5) последовательно, определим все y i : y 1 y 0 hf x 0 , y 0 , y 2 y 1 hf x 1 , y 1 , ….

Геометрическая

интерпретация

(рис. 5.1.):

Пользуясь тем, что в точке x 0 известно решение y x 0 y 0

и значение его производной y x 0 dy

f x0 , y0 ,

x x0

записать уравнение касательной к графику искомой функции

f x0 , y0

y y0

f x0 , y0 x x0 .

достаточно

шаге h

ордината

y1 y0 hf x0 , y0

касательной, полученная подстановкой в правую часть значения x 1 x 0 h , должна мало отличаться от ординаты y x 1 решения

y x задачи Коши. Следовательно, точка x 1 , y 1 пересечения касательной с прямой x x 1 может быть приближенно принята

за новую начальную точку. Через эту точку снова проведем

прямую y y 1 f x 1 , y 1 x x 1 ,

которая приближенно отражает

поведение касательной к y x

использовать

x i 1

прямоугольников:

f x, y dx hf xi 1 , yi 1 , то

неявный метод Эйлера

y i 1

y i hf x i 1 , y i 1 , i 0,1,..., n 1.

Этот метод называют неявным, поскольку для вычисления

неизвестного

значения

yi 1 y xi 1 по

известному

значению

требуется решать уравнение, в общем случае

нелинейное. Неявный метод Эйлера также имеет первый порядок аппроксимации.

Модифицированный метод Эйлера

В данном методе вычисление y i 1 состоит из двух этапов:

~ y i 1 y i hf x i , y i ,

y i 1

f xi , yi f xi 1 , yi 1

Данная схема называется также методом предикторкорректор. Это английское название, означающее «предсказатьисправить». Действительно, на первом этапе приближенное значение предсказывается с первым порядком точности, а на

Метод Эйлера. Усовершенствованный метод Эйлера.
Классический метод Рунге-Кутты

Не обошла стороной вычислительная математика и дифференциальные уравнения! Сегодня на уроке мы познакомимся с основами приближённых вычислений в этом разделе математического анализа, после чего перед вами приветливо распахнутся толстые-претолстые книги по теме. Ибо вычислительная математика стороной диффуры ещё как не обошла =)

Перечисленные в заголовке методы предназначены для приближённого нахождения решений дифференциальных уравнений , систем ДУ , и краткая постановка наиболее распространённой задачи такова:

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка , для которого требуется найти частное решение , соответствующее начальному условию . Что это значит? Это значит, нам нужно найти функцию (предполагается её существование) , которая удовлетворяет данному дифф. уравнению, и график которой проходит через точку .

Но вот незадача – переменные в уравнении разделить невозможно. Никакими известными науке способами. А если и возможно, то получается неберущийся интеграл. Однако частное-то решение существует! И здесь на помощь приходят методы приближенных вычислений, которые позволяют с высокой (а зачастую с высочайшей) точностью «сымитировать» функцию на некотором промежутке.

Идея методов Эйлера и Рунге-Кутты состоит в том, чтобы заменить фрагмент графика ломаной линией , и сейчас мы узнаем, как эта идея реализуется на практике. И не только узнаем, но и непосредственно реализуем =) Начнём с исторически первого и самого простого метода. …Вы хотите иметь дело со сложным дифференциальным уравнением? Вот и я тоже не хочу:)

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения , соответствующее начальному условию , методом Эйлера на отрезке с шагом . Построить таблицу и график приближённого решения.

Разбираемся. Во-первых, перед нами обычное линейное уравнение , которое можно решить стандартными способами, и поэтому очень трудно устоять перед соблазном сразу же найти точное решение:

– желающие могут выполнить проверку и убедиться, что данная функция удовлетворяет начальному условию и является корнем уравнения .

Что нужно сделать? Нужно найти и построить ломаную , которая приближает график функции на промежутке . Поскольку длина этого промежутка равна единице, а шаг составляет , то наша ломаная будет состоять из 10 отрезков:

причём, точка уже известна – она соответствует начальному условию . Кроме того, очевидны «иксовые» координаты других точек:

Осталось найти . Никакого дифференцирования и интегрирования – только сложение и умножение! Каждое следующее «игрековое» значение получается из предыдущего по простой рекуррентной формуле:

Представим дифференциальное уравнение в виде :

Таким образом:

«Раскручиваемся» от начального условия :

Понеслось:

Результаты вычислений удобно заносить в таблицу:

А сами вычисления автоматизировать в Экселе – потому что в математике важен не только победный, но ещё и быстрый конец:)

По результатам 2-го и 3-го столбцов изобразим на чертеже 11 точек и 10 отрезков, соединяющих смежные точки. Для сравнения я построю график точного частного решения :


Существенным недостатком простого метода Эйлера является слишком большая погрешность, при этом легко заметить, что погрешность имеет тенденцию накапливаться – чем дальше мы уходим от точки , тем преимущественно больше становится расхождение между приближением и истиной. Это объяснимо самим принципом, который Эйлер положил в основу своего метода: отрезки параллельны соответствующим касательным к графику функции в точках . Данный факт, кстати, тоже хорошо просматривается по чертежу.

Как можно улучшить приближение? Первая мысль – измельчить разбиение. Разделим отрезок , например, на 20 частей. Тогда шаг составит: , и совершенно понятно, что ломаная из 20 звеньев заметно точнее приблизит частное решение. С помощью того же Экселя не составит труда обработать 100-1000 и даже миллион (!) промежуточных отрезков, однако зададимся вопросом: а нельзя ли КАЧЕСТВЕННО улучшить метод?

Но перед тем как раскрыть этот вопрос, не могу не остановиться на неоднократно прозвучавшей сегодня фамилии. Читая биографию Леонарда Эйлера , просто поражаешься, как невероятно много может успеть сделать за свою жизнь человек! Сопоставимо вспомнился только К.Ф. Гаусс. …Вот и мы постараемся не потерять мотивацию к обучению и новым открытиям:))

Усовершенствованный метод Эйлера

Рассмотрим тот же самый пример: дифференциальное уравнение , частное решение, удовлетворяющее условию , промежуток и его разбиение на 10 частей
( – длина каждой части).

Цель усовершенствования состоит в том, чтобы приблизить «красные квадратики» ломаной к соответствующим «зелёным точкам» точного решения .

И идея модификации такова: отрезки должны быть параллельны касательным , которые проведены к графику функции не на левых краях , а «посерединке» интервалов разбиения. Что, естественно, улучшит качество приближения.

Алгоритм решения работает в том же русле, но формула, как нетрудно догадаться, усложняется:
, где

Плясать вновь начинаем от частного решения и сразу же находим 1-й аргумент «внешней» функции:

Теперь находим нашего «монстра», который на поверку оказался не таким уж и страшным – обратите внимание, что это ТА ЖЕ функция , вычисленная в другой точке:

Умножаем результат на шаг разбиения:

Таким образом:

Алгоритм заходит на второй круг, не поленюсь, распишу его подробно:

рассматриваем пару и находим 1-й аргумент «внешней» функции:

Рассчитываем и находим её 2-й аргумент:

Вычислим значение:

и его произведение на шаг:

Вычисления разумно провести в Экселе (растиражировав формулы по той же схеме – см. видеоролик выше) , а результаты свести в таблицу:


Числа целесообразно округлять до 4-5-6 знаков после запятой. Нередко в условии той или иной задачи есть прямое указание , с какой точностью следует проводить округление. Я подровнял сильно «хвостатые» значения до 6 знаков.

По результатам 2-го и 3-го столбцов (слева) построим ломаную , и для сравнения я снова приведу график точного решения :


Результат существенно улучшился! – красные квадратики практически «спрятались» за зелёными точками точного решения.

Однако нет пределов совершенству. Одна голова хорошо, а две – лучше. И снова немецкие:

Классический метод Рунге-Кутты 4-го порядка

Его цель добиться ещё бОльшего приближения «красных квадратиков» к «зелёным точкам». Вы спросите, куда ещё ближе? Во многих, в частности физических, исследованиях бывает ПРИНЦИПИАЛЬНО важен 10-й, а то и 50-й точный знак после запятой. Нет, такой точности можно достичь и простым методом Эйлера, но на СКОЛЬКО частей придётся разбить промежуток ?! …Хотя с современными вычислительными мощностями это не проблема – тысячи кочегаров китайского космического корабля гарантируют!

И, как правильно подсказывает заголовок, при использовании метода Рунге-Кутты на каждом шаге нам придётся вычислить значение функции 4 раза (в отличие от двукратного вычисления в предыдущем параграфе) . Но задача эта вполне и вполне подъёмная если нанять китайцев. Каждое следующее «игрековое» значение получается из предыдущего – ловим формулы:
, где , где:

Готовы? Ну тогда начинаем:))


Таким образом:

Первая строка запрограммирована, и я копирую формулы по образцу:


Не думал, что так быстро разделаюсь с методом Рунге-Кутты =)

В чертеже нет смысла, поскольку он уже не показателен. Давайте лучше проведём аналитическое сравнение точности трёх методов, ибо когда известно точное решение , то грех не сравнить. Значения функции в узловых точках элементарно рассчитываются в том же Экселе – один раз забиваем формулу и тиражируем её на остальные .

В нижеследующую таблицу я сведу значения (для каждого из трёх методов) и соответствующие абсолютные погрешности приближённых вычислений:


Как видите, метод Рунге-Кутты даёт уже 4-5 верных знака после запятой по сравнению с 2 верными знаками усовершенствованного метода Эйлера! И это не случайность:

– Погрешность «обычного» метода Эйлера не превосходит шага разбиения. И в самом деле – взгляните на самый левый столбец погрешностей – там после запятых только один ноль, что и говорит нам о точности 0,1.

– Усовершенствованный метод Эйлера гарантирует точность: (смотрим на 2 нуля после запятой в средней колонке погрешностей) .

– И, наконец, классический метод Рунге-Кутты обеспечивает точность .

Изложенные оценки погрешностей строго обосновывается в теории.

Как можно ЕЩЁ улучшить точность приближения? Ответ прямо-таки философский: качеством и/или количеством =) В частности, существует и другие, более точные модификации метода Рунге-Кутты. Количественный путь, как уже отмечалось, состоит в уменьшении шага, т.е. в разбиении отрезка на бОльшее количество промежуточных отрезков. И с увеличением этого количества ломаная всё больше и больше будет походить на график точного решения и в пределе – совпадёт с ним.

В математике это свойство называется спрямляемостью кривой . К слову (небольшой оффтоп) , «спрямить» удаётся далеко не всё – рекомендую прочитать интереснейшую , в которых уменьшение «участка исследования» не влечёт за собой упрощение объекта исследования.

Так получилось, что я разобрал всего лишь одно дифференциальное уравнение и поэтому пара дополнительных замечаний. Что ещё нужно иметь в виду на практике? В условии задачи вам может быть предложен другой отрезок и другое разбиение, причём иногда встречается следующая формулировка: «найти методом… …на промежутке , разбив его на 5 частей». В этом случае нужно найти шаг разбиения , после чего придерживаться обычной схемы решения. Кстати, начальное условие должно быть такого вида: , то есть «икс нулевое», как правило, совпадает с левым концом отрезка. Образно говоря, ломаная всегда «выходит» из точки .

Безусловным достоинством рассмотренных методов, является тот факт, что они применимы к уравнениям с очень сложной правой частью. И безусловный недостаток – далеко не каждый диффур можно представить в таком виде.

Но почти всё в этой жизни поправимо! – ведь мы рассмотрели лишь малую толику темы, и моя фраза о толстых-претолстых книгах была вовсе не шуткой. Существует великое множество приближённых методов нахождения решений ДУ и их систем, в которых применяются, в том числе, принципиально другие подходы. Так, например, частное решение можно приблизить степенным рядом . Однако это уже статья другого раздела.

Надеюсь, мне удалось разнообразить скучноватую вычислительную математику, и вам было интересно!

Спасибо за внимание!

Системой дифференциальных уравнений называется система вида

где x - независимый аргумент,

y i - зависимая функция, ,

y i | x=x0 =y i0 - начальные условия.

Функции y i (x), при подстановке которой система уравнений обращается в тождество, называется решением системой дифференциальных уравнений .

Численные методы решения систем дифференциальных уравнений.


Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида



Функция y(x), при подстановке которой уравнение обращается в тождество, называется решением дифференциального уравнения .

Численно ищется частное решение уравнения (2), которое удовлетворяет заданным начальным условиям, то есть решается задача Коши.

Для численного решения дифференциальное уравнение второго порядка преобразуется в систему двух дифференциальных уравнений первого порядка и приводится к машинному виду (3). Для этого вводится новая неизвестная функция , слева в каждом уравнении системы оставляют только первые производные неизвестных функций, а в правых частях производных быть не должно

. (3)


Функция f 2 (x, y 1 , y) в систему (3) введена формально для того, чтобы методы, которые будут показаны ниже, могли быть использованы для решения произвольной системы дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрим несколько численных методов решения системы (3). Расчетные зависимости для i+1 шага интегрирования имеют следующий вид. Для решения системы из n уравнений расчетные формулы приведены выше. Для решения системы из двух уравнений расчетные формулы удобно записать без двойных индексов в следующем виде:

  1. Метод Эйлера .

    у 1,i+1 =у 1,i +hf 1 (x i , y 1,i , y i),

    у i+1 =у i +hf 2 (x i , y 1,i , y i),

  2. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка .

    у 1,i+1 =у 1,i +(m 1 +2m 2 +2m 3 +m 4)/6,

    у i+1 =у i +(k 1 +2k 2 +2k 3 +k 4)/6,

    m 1 =hf 1 (x i , y 1,i , y i),

    k 1 =hf 2 (x i , y 1,i , y i),

    m 2 =hf 1 (x i +h/2, y 1,i +m 1 /2, y i +k 1 /2),

    k 2 =hf 2 (x i +h/2, y 1,i +m 1 /2, y i +k 1 /2),

    m 3 =hf 1 (x i +h/2, y 1,i +m 2 /2, y i +k 2 /2),

    k 3 =hf 2 (x i +h/2, y 1,i +m 2 /2, y i +k 2 /2),

    m 4 =hf 1 (x i +h, y 1,i +m 3 , y i +k 3),

    k 4 =hf 2 (x i +h, y 1,i +m 3 , y i +k 3),

    где h - шаг интегрирования. Начальные условия при численном интегрировании учитываются на нулевом шаге: i=0, x=x 0 , y 1 =y 10 , y=y 0 .

Контрольное задание по зачетной работе.

Колебания с одной степенью свободы

Цель. Изучение численных методов решения дифференциальных уравнений второго порядка и систем дифференциальных уравнений первого порядка.

Задание. Численно и аналитически найти:

  1. закон движения материальной точки на пружинке х(t),
  2. закон изменения силы тока I(t) в колебательном контуре (RLC - цепи) для заданных в табл.1,2 режимов. Построить графики искомых функций.

Варианты заданий.


Таблица режимов



Варианты заданий и номера режимов:

  1. движение точки
  2. RLC - цепь


Рассмотрим более подробно порядок составления дифференциальных уравнений и приведения их к машинному виду для описания движения тела на пружинке и RLC-цепи.


  1. Название, цель работы и задание.
  2. Математическое описание, алгоритм (структограмма) и текст программы.
  3. Шесть графиков зависимости (три точные и три приближенные) x(t) или I(t), выводы по работе.

Известно, что обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид: .Решением этого уравнения является дифференцируемая функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. График решения дифференциального уравнения (рис 1.) называетсяинтегральной кривой.

Производную в каждой точкеможно геометрически интерпретировать как тангенс угланаклона касательной к графику решения, проходящего через эту точку, т е.:.

Исходное уравнение определяет целое семейство решений. Чтобы выделить одно решение, задают начальное условие: , где – некоторое заданное значение аргумента, а–начальное значение функции.

Задача Коши заключается в отыскании функции , удовлетворяющей исходному уравнению и начальному условию. Обычно определяют решение задачи Коши на отрезке, расположенном справа от начального значения, т. е. для.

Даже для простых дифференциальных уравнений первого порядка не всегда удается получить аналитическое решение. Поэтому большое значение имеют численные методы решения. Численные методы позволяют определить приближенные значения искомого решения на некоторой выбранной сетке значений аргумента. Точкиназываютсяузлами сетки , а величина – шагом сетки. Часто рассматриваютравномерные сетки, для которых шаг постоянен,. При этом решение получается в виде таблицы, в которой каждому узлу сеткисоответствуют приближенные значения функциив узлах сетки.

Численные методы не позволяют найти решение в общем виде, зато они применимы к широкому классу дифференциальных уравнений.

Сходимость численных методов решения задачи Коши. Пусть – решение задачи Коши. Назовем погрешностью численного метода функцию , заданную в узлах сетки. В качестве абсолютной погрешности примем величину.

Численный метод решения задачи Коши называется сходящимся , если для него при. Говорят, что метод имеет-ый порядок точности, если для погрешности справедлива оценка,константа, .

Метод Эйлера

Простейшим методом решения задачи Коши является метод Эйлера. Будем решать задачу Коши

на отрезке . Выберем шаги построим сетку с системой узлов. В методе Эйлера вычисляются приближенные значения функциив узлах сетки:. Заменив производнуюконечными разностями на отрезках,, получим приближенное равенство:,, которое можно переписать так:,.

Эти формулы и начальное условие являются расчетными формулами метода Эйлера.

Геометрическая интерпретация одного шага метода Эйлера заключается в том, что решение на отрезке заменяется касательной, проведенной в точкек интегральной кривой, проходящей через эту точку. После выполненияшагов неизвестная интегральная кривая заменяется ломаной линией(ломаной Эйлера).

Оценка погрешности. Для оценки погрешности метода Эйлера воспользуемся следующей теоремой.

Теорема. Пусть функция удовлетворяет условиям:

.

Тогда для метода Эйлера справедлива следующая оценка погрешности: , где– длина отрезка. Мы видим, что метод Эйлера имеет первый порядок точности.

Оценка погрешности метода Эйлера часто бывает затруднительна, так как требует вычисления производных функции . Грубую оценку погрешности даетправило Рунге (правило двойного пересчета), которое используется для различных одношаговых методов, имеющих -ый порядок точности. Правило Рунге заключается в следующем. Пусть– приближения, полученные с шагом, а– приближения, полученные с шагом. Тогда справедливо приближенное равенство:

.

Таким образом, чтобы оценить погрешность одношагового метода с шагом , нужно найти то же решение с шагоми вычислить величину, стоящую справа в последней формуле, т.е.. Так как метод Эйлера имеет первый порядок точности, т. е., то приближенное равенство имеет вид:.

Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши с заданной точностью . Для этого нужно, начав вычисления с некоторого значения шага , последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение,. Вычисления прекращаются тогда, когда будет выполнено условие: . Для метода Эйлера это условие примет вид:. Приближенным решением будут значения,.

Пример 1. Найдем решение на отрезке следующей задачи Коши:,. Возьмем шаг. Тогда.

Расчетная формула метода Эйлера имеет вид:

, .

Решение представим в виде таблицы 1:

Таблица 1

Исходное уравнение есть уравнение Бернулли. Его решение можно найти в явном виде: .

Для сравнения точного и приближенного решений представим точное решение в виде таблицы 2:

Таблица 2

Из таблицы видно, что погрешность составляет



Предыдущая статья: Следующая статья:

© 2015 .
О сайте | Контакты
| Карта сайта