Что такое плоская волна. Распространение плоской волны. Основные свойства слуха
Главная » Фундамент » Что такое плоская волна. Распространение плоской волны. Основные свойства слуха

Что такое плоская волна. Распространение плоской волны. Основные свойства слуха

Плоская волна - это волна, фронт которой представляет собой плоскость. Напомним, что фронт - это эквифазная поверхность, т.е. поверхность равных фаз.

Принимаем, что в точке О (рис. 5.1) находится точечный источник, плоскость Р перпендикулярна оси Z, точки М j и М 2 лежат в плоскости Р. Принимаем также, что источник О так далеко от плоскости Р, что OMj | | ОМ 2 . Это означает, что все точки в плоскости Р, являющейся фронтом волны, равноправны, т.е. при перемещении в плоскости Р не происходит изменения состояния процесса:

Рис. 5.1.

Разрешим уравнения Гельмгольца

относительно векторов поля и исследуем полученные решения.

В этом случае из шести уравнений остаются только два уравнения:

Плоские волны в вакууме

Решение дифференциальных уравнений (5.1) имеет вид

где корни характеристического уравнения

Переходя от комплексных векторов к их мгновенным значениям, получим

Первое слагаемое представляет собой прямую волну, а второе - обратную волну. Рассмотрим первое слагаемое уравнения (5.2). На рис. 5.2 в соответствии с этим уравнением показано распределение напряженности электрического поля в момент времени t и At. Точки 1 и 2 соответствуют максимумам напряженности электрического поля. Положение максимума сместилось за время At на расстояние Az:

Равенство значений функций обеспечивается равенством аргументов: ooAt = kAz. При этом получаем уравнение для фазовой скорости

Puc. 5.2. График изменения напряженности электрического поля

Для вакуума Уф =-, С ° = -j2= = 3 10 8 м/с.

W 8 оМ-о V E oMo

Это означает, что в вакууме скорость распространения электромагнитной волны равна скорости света. Рассмотрим второе слагаемое уравнения (5.2):

Оно дает Уф =-. Это соответствует волне, распространяющейся к источнику.

Определим расстояние X между точками поля с фазами, отличающимися на 360°. Это расстояние называется длиной волны. Поскольку

где к - волновое число (постоянная распространения), то

Длина волны в вакууме Х 0 = с / /, где с - скорость света.

Фазовая скорость и длина волны в остальных средах соответственно

Как следует из формулы для фазовой скорости, она не зависит от частоты электромагнитного поля, а значит, среда без потерь недисперсионная.

Установим связь между направлениями векторов электрического и магнитного полей. Начнем с уравнений Максвелла:

Заменяем векторные уравнения скалярными, т.е. приравниваем проекции векторов в последних уравнениях:


Учтем, что в системе (5.3)

тогда получим


Из условия (5.4) очевидно, что у плоских волн нет продольных составляющих, так как E z = О, Н 2 = 0. Составим скалярное произведение (Е, Я), выразив Е х и Е у из выражений (5.4):

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, векторы Ё и Я в плоской волне перпендикулярны друг другу. Из-за того, что у них нет продольных составляющих, ? и Я перпендикулярны направлению распространения. Определим отношение амплитуд векторов электрического и магнитного полей.

Принимаем, что вектор? направлен вдоль оси х, соответственно Е у - 0,Н Х - 0.

Из уравнения (5.4) Е х =-Я Я у ~-Е х. Отсюда =-=,/- -Z, сое сор Н у сое V е

где Z - волновое сопротивление среды с макроскопическими параметрами е и р;

Z 0 - волновое сопротивление вакуума. С большой степенью точности эту величину можно считать волновым сопротивлением сухого воздуха.

Запишем выражения для мгновенных значений Я и? падающей волны, используя уравнение (5.2). В результате получим

аналогично

По мере продвижения падающей волны вдоль оси z амплитуды? и Я остаются неизменными, т.е. затухания волны не происходит, так как в диэлектрике нет токов проводимости и выделения энергии в виде теплоты.

На рис. 5.3, а изображены пространственные кривые, представляющие собой графики мгновенных значений Я и?. Эти графики построены по полученным уравнениям для момента времени cot = 0. Для более позднего момента времени, например для cot + |/ п = п/2, аналогичные кривые изображены на рис. 5.3, б.


Рис. 5.3.

а - при a)t= 0; б - при u>t= п/2

Как видно на рис. 5.3, а и б, вектор Е при движении волны остается направленным вдоль оси х, а вектор Я - вдоль оси у, сдвига по фазе между Я и? нет.

Вектор Пойнтинга падающей волны направлен вдоль оси z. Его модуль изменяется по закону П = C 2 Z sin 2 ^cot + --zj. Поскольку

sin 2a = (1 - cos2a)/2, to 1-cosf 2cot+--z ] , т.е. вектор

2 L V v)_

Пойнтинга имеет постоянную составляющую C 2 Z /2 и переменную, изменяющуюся во времени с двойной угловой частотой.

На основе анализа решения волновых уравнений можно сделать следующие выводы.

  • 1. В вакууме плоские волны распространяются со скоростью света, в остальных средах скорость меньше в ^/e,.p r раз.
  • 2. Векторы электрического и магнитного полей не имеют продольных составляющих и перпендикулярны друг другу.
  • 3. Отношение амплитуд электрического и магнитного полей равно волновому сопротивлению среды, в которой происходит распространение электромагнитных волн.

Эта функция должна быть периодической как относительно времени, так и координат (волна – это распространяющееся колебание, следовательно периодически повторяющееся движение). Кроме того, точки, отстоящие друг от друга на расстоянии l, колеблются одинаковым образом.

Уравнение плоской волны

Найдем вид функции x в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер.

Направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновая поверхность будет перпендикулярна оси x . Так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t : . Пусть колебание точек, лежащих в плоскости , имеет вид (при начальной фазе )

(5.2.2)

Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x . Чтобы пройти путь x , необходимо время .

Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости , т.е.

, (5.2.3)

– это уравнение плоской волны.

Таким образом, x есть смещение любой из точек с координатой x в момент времени t . При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания . Это будет, если энергия волны не поглощается средой.

Такой же вид уравнение (5.2.3) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси y или z .

В общем виде уравнение плоской волны записывается так:

Выражения (5.2.3) и (5.2.4) есть уравнения бегущей волны .

Уравнение (5.2.3) описывает волну, распространяющуюся в сторону увеличения x . Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, имеет вид:

.

Уравнение волны можно записать и в другом виде.

Введем волновое число , или в векторной форме:

, (5.2.5)

где – волновой вектор, – нормаль к волновой поверхности.

Так как , то . Отсюда . Тогда уравнение плоской волны запишется так:

. (5.2.6)

Уравнение сферической волны

ПЛОСКАЯ ВОЛНА

ПЛОСКАЯ ВОЛНА

Волна, у к-рой направление распространения одинаково во всех точках пространства. Простейший пример - однородная монохроматич. незатухающая П. в.:

и(z, t)=Aeiwt±ikz, (1)

где А - амплитуда, j= wt±kz - , w=2p/Т - круговая частота, Т -период колебаний, k - . Поверхности постоянной фазы (фазовые фронты) j=const П. в. являются плоскостями.

При отсутствии дисперсии, когда vф и vгр одинаковы и постоянны (vгр=vф= v), существуют стационарные (т. е. перемещающиеся как целое) бегущие П. в., к-рые допускают общее представление вида:

u(z, t)=f(z±vt), (2)

где f - произвольная функция. В нелинейных средах с дисперсией также возможны стационарные бегущие П. в. типа (2), но их форма уже не произвольна, а зависит как от параметров системы, так и от характера движения . В поглощающих (диссипативных) средах П. в. уменьшают свою амплитуду по мере распространения; при линейном затухании это может быть учтено путём замены в (1) k на комплексное волновое число kд ± ikм, где kм - коэфф. затухания П. в.

Однородная П. в., занимающая всё бесконечное , является идеализацией, однако любое волновое , сосредоточенное в конечной области (напр., направляемое линиями передачи или волноводами), можно представить как суперпозицию П. в. с тем или иным пространств. спектром k. При этом волна может по-прежнему иметь плоский фазовый фронт, но неоднородное амплитуды. Такие П. в. наз. плоскими неоднородными волнами. Отдельные участки сферич. и цилиндрич. волн, малые по сравнению с радиусом кривизны фазового фронта, приближённо ведут себя как П. в.

Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . . 1983 .

ПЛОСКАЯ ВОЛНА

- волна, ук-рой направление распространения одинаково во всех точках пространства.

где А - амплитуда,- фаза,- круговая частота, Т - период колебаний, k - волновое число. = const П. в. являются плоскостями.
При отсутствии дисперсии, когда фазоваяскорость v ф и групповая v гр одинаковы и постоянны (v гр = v ф = v ) существуют стационарные (т. е. перемещающиеся как целое) бегущиеП. в., к-рые можно представить в общем виде

где f - произвольная ф-ция. В нелинейныхсредах с дисперсией также возможны стационарные бегущие П. в. типа (2),но их форма уже не произвольна, а зависит как от параметров системы, таки от характера движения волны. В поглощающих (диссипативных) средах П. k на комплексное волновоечисло k д ik м,где k м - коэф. затухания П. в. Однородная П. в., занимающаявсё бесконечное , является идеализацией, однако любое волновоеполе, сосредоточенное в конечной области (напр., направляемое линиямипередачи или волноводами), можно представить как суперпозициюП. в. с тем или иным пространственным спектром k. При этом волнаможет no-прежнему иметь плоский фазовый фронт, во неоднородное распределениеамплитуды. Такие П. в. наз. плоскими неоднородными волнами. Отд. участкисферич. или цилиндрич. волн, малые по сравнению с радиусом кривизны фазовогофронта, приближённо ведут себя как П. в.

Лит. см. при ст. Волны.

М. А. Миллер, Л. А. Островский.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .

Колебательный процесс, распространяющийся в среде в виде волны, фронт которой представляет собой плоскость , называется плоской звуковой волной . На практике плоская волна может образовываться источником, линейные размеры которого велики по сравнению с длинной излученной им волн, и если зона волнового поля находится на достаточно большом удалении от него. Но так обстоит дело в неограниченной среде. Если источник огражден каким-либо препятствием, то классический пример плоской волны, это – колебания, возбужденные жестким несгибаемым поршнем в длинной трубе (волноводе) с жесткими стенками, если диаметр поршня значительно меньше длины - излучаемых волн. Поверхность фронта в трубе из-за жестких стенок не меняется по мере распространения волны по волноводу(см. рис. 3.3). Потерями звуковой энергии на поглощение и рассеяние в воздушной среде пренебрегаем.

Если излучатель (поршень) совершает колебания по гармоническому закону с частотой
, а размеры поршня (диаметр волновода) значительно меньше длины звуковой волны, то давление, создаваемое около его поверхности,
. Очевидно, что на расстояниих давление будет
, где
– время пробега волны от излучателя до точкиx. Это выражение удобнее записать, как:
, где
- волновое число распространения волны. Произведение
- определяемый фазовый набег колебательного процесса в точке, удаленной на расстояниех от излучателя.

Подставляя полученное выражение в уравнение движения (3.1), проинтегрируем последнее относительно колебательной скорости:

(3.8)

Вообще для произвольного момента времени оказывается, что:

. (3.9)

Правая часть выражения (3.9) – характеристическое, волновое, или удельное акустическое сопротивление среды (импеданс). Само уравнение (3.), иногда, называется акустическим «законом Ома». Как следует из решения, полученное уравнение справедливо в поле плоской волны. Давление и колебательная скорость синфазны , что является следствием чисто активного сопротивления среды.

Пример: Максимальное давление в плоской волне
Па. Определить амплитуду смещения частиц воздуха по частоте?

Решение: Так как , тогда:

Из выражения (3.10) следует, что амплитуда звуковых волн очень мала, по крайней мере, в сравнении с размерами самих источников звука.

Помимо скалярного потенциала, давления и колебательной скорости звуковое поле характеризуется и энергетическими характеристиками, важнейшей из которых является интенсивность - вектор плотности потока энергии, переносимой волной за единицу времени. По определению
- есть результат произведения звукового давления на колебательную скорость.

При отсутствии потерь в среде плоская волна, теоретически, может распространяться без ослабления на сколь угодно большие расстояния, т.к. сохранение формы плоского фронта свидетельствует об отсутствии «расходимости» волны, а, значит, и об отсутствии ослабления. Иначе обстоит дело, если волна обладает искривленным фронтом. К подобным волнам относят, прежде всего, сферическую и цилиндрическую волны.

3.1.3. Модели волн с неплоским фронтом

У сферической волны поверхность равных фаз является сферой. Источником такой волны также является сфера, все точки которой колеблются с одинаковыми амплитудами и фазами, а центр остается неподвижен (см. рис. 3.4, а).

Сферическая волна описывается функцией, являющейся решением волнового уравнения в сферической системе координат, для потенциала волны, распространяющейся от источника:

. (3.11)

Действуя по аналогии с плоской волной, можно показать, что на расстояниях от источника звука значительно больше длины изучаемых волн:
. Это значит, что акустический «закон Ома» выполняется и в данном случае. В практических условиях сферические волны возбуждаются, преимущественно, компактными источниками произвольной формы, размеры которых значительно меньше длины возбуждаемых звуковых или ультразвуковых волн. Иными словами, «точечный» источник излучает, преимущественно, сферические волны. На больших расстояниях от источника или, как принято говорить, в «дальней» зоне сферическая волна применительно к ограниченным по размерам участкам волнового фронта ведет себя как плоская волна, или как говорят: «вырождается в плоскую волну». Требования к малости участка определяются не только частотой, но
- разностью расстояний между сравниваемыми точками. Отметим, что указанная функция
имеет особенность:
при
. Это вызывает определенные трудности при строгом решении дифракционных задач, связанных с излучением и рассеянием звука.

В свою очередь цилиндрические волны (поверхность волнового фронта - цилиндр) излучаются бесконечно длинным пульсирующим цилиндром (см. рис.3.4).

В дальней зоне выражение для функции потенциала такого источника асимптотически стремится к выражению:


. (3.12)

Можно показать, что и в этом случае выполняется соотношение
. Цилиндрические волны, как и сферические, в дальней зоневырождаются в плоские волны.

Ослабление упругих волн при распространении связано не только с изменением кривизны волнового фронта («расходимостью» волны), но и с наличием «затухания» т.е. ослабления звука. Формально наличие затухания в среде можно описать, представив волновое число комплексным
. Тогда, например, для плоской волны давления можно получить:Р(x , t ) = P макс
=
.

Видно, что вещественная часть комплексного волнового числа описывает пространственную бегущую волну, а мнимая часть характеризует ослабление волны по амплитуде. Поэтому величина  называется коэффициентом ослабления (затухания),  - величина размерная (Непер/м). Один «Непер» соответствует изменению амплитуды волны в «е» раз при перемещении волнового фронта на единицу длины. В общем случае ослабление определяется поглощением и рассеянием в среде:  =  погл +  расс. Указанные эффекты определяются разными причинами и могут рассматриваться отдельно.

В общем случае поглощение связано с необратимыми потерями звуковой энергии при ее превращении в тепло.

Рассеяние связано с переориентацией части энергии падающей волны на другие направления, не совпадающие с падающей волной.

> Сферические и плоские волны

Научитесь различать сферические и плоские волны . Читайте, какую волну называют плоской или сферической, источник, роль волнового фронта, характеристика.

Сферические волны возникают из точечного источника в сферическом узоре, а плоские – бесконечные параллельные плоскости, нормальные к вектору фазовой скорости.

Задача обучения

  • Вычислить источники сферических и плоских волновых узоров.

Основные пункты

  • Волны создают конструктивные и деструктивные помехи.
  • Сферические возникают из одного точечного источника в сферической форме.
  • Плоская вода – частотная, волновые фронты которой выступают бесконечными параллельными плоскостями со стабильной амплитудой.
  • В реальности не выйдет получить идеальную плоскую волну, но многие приближаются к такому состоянию.

Термины

  • Деструктивные помехи – волны мешают друг другу, а точки не совпадают.
  • Конструктивные – волны мешают и точки расположены в идентичных фазах.
  • Волновой фронт – мнимая поверхность, простирающаяся сквозь осциллирующие точки в фазе среды.

Сферические волны

Какую волну называют сферической? Разработать метод по определению способа и места распространения волн удалось Кристиану Гюйгенсу. В 1678 году он выдвинул предположение, что каждая точка, с которой сталкивается световая помеха, превращается в источник сферической волны. Суммирование вторичных волн вычисляет вид в любом времени. Этот принцип показал, что при контакте волны создают деструктивные или конструктивные помехи.

Конструктивные формируются, если волны полностью пребывают в фазе друг друга, а финальная усиливается. В деструктивных волны не соответствуют по фазам и финальная просто сокращается. Волны возникают из одного точечного источника, поэтому формируются в сферическом узоре.

Если волны генерируются из точечного источника, то выступают сферическими

Этот принцип применяет закон преломления. Каждая точка на волне создает волны, мешающие друг другу конструктивно или деструктивно

Плоские волны

Теперь давайте поймем, какую волну называют плоской. Плоская отображает частотную волну, фронты которой выступают бесконечными параллельными плоскостями со стабильной амплитудой, расположенной перпендикулярно вектору фазовой скорости. В реальности нельзя добыть истинную плоскую волну. Только плоская с бесконечной протяжностью сможет ей соответствовать. Правда, многие волны приближаются к такому состоянию. Например, антенна формирует поле, выступающее примерно плоским.

Плоские отображают бесконечное число волновых фронтов, нормальных к стороне распространения



Предыдущая статья: Следующая статья:

© 2015 .
О сайте | Контакты
| Карта сайта