Построение линий первого порядка. Линии второго порядка. Эллипс и его каноническое уравнение. Окружность. Окружность – это частный случай эллипса
Главная » Стройматериалы » Построение линий первого порядка. Линии второго порядка. Эллипс и его каноническое уравнение. Окружность. Окружность – это частный случай эллипса

Построение линий первого порядка. Линии второго порядка. Эллипс и его каноническое уравнение. Окружность. Окружность – это частный случай эллипса

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

где A, B, C, D, E, F - числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

Эллипс, заданный каноническим уравнением

Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы обозначены как и на рисунке ниже.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

где a и b (a > b ) - длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a , О ) и (- a , О ), а ось ординат - в точках (b , О ) и (- b , О ). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат - малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид . Это уравнение окружности радиуса a , а окружность - частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a /b раз вдоль оси Oy .

Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением , эллипсом.

Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия - эллипс.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось - это a = 5 , меньшая полуось - это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:

Точки и , обозначенные зелёным на большей оси, где

называются фокусами .

называется эксцентриситетом эллипса.

Отношение b /a характеризует "сплюснутость" эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.

Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.

Решение. Делаем несложные умозаключения:

Если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,

Если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

Подставляем и вычисляем:

Результат - каноническое уравнение эллипса:

Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет .

Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c , нужное для вычисления длины меньшей полуоси:

.

Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

Составляем каноническое уравнение эллипса:

Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением .

Решение. Следует найти число c , определяющее первые координаты фокусов эллипса:

.

Получаем фокусы эллипса:

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) расстояние между фокусами 30, а большая ось 34

2) малая ось 24, а один из фокусов находится в точке (-5; 0)

3) эксцентриситет , а один из фокусов находится в точке (6; 0)

Продолжаем решать задачи на эллипс вместе

Если - произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и - расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний - следующие:

Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a .

Прямые, определяемые уравнениями

называются директрисами эллипса (на чертеже - красные линии по краям).

Из двух вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки эллипса

,

где и - расстояния этой точки до директрис и .

Пример 7. Дан эллипс . Составить уравнение его директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. . Все данные для этого есть. Вычисляем:

.

Получаем уравнение директрис эллипса:

Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки , а директрисами являются прямые .

Скачать с Depositfiles

Лекция № 9. Тема 3 : Линии второго порядка

Пусть в некоторой ДСК задана линия, определяемая уравнением второй степени

где коэффициенты
одновременно не равны нулю. Эта линия назы-вается кривой или линией второго порядка .

Может случиться, что нет точек
с действительными коорди-натами, удовлетворяющими уравнению (1). В этом случае считают, что уравнение (1) определяет мнимую линию второго порядка. Например,
это уравнение мнимой окружности.

Рассмотрим три важных частных случаев уравнения (1).

3.1. Эллипс

Эллипс определяется уравнением

(2)

Коэффициенты а и b называются соответственно большой и малой полуосями, а уравнение (2) – каноническим уравнением эллипса.

Положим
и отметим на оси Ох точки

называемые
фокусами эллипса. Тогда эллипс можно определить как

геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до фокусов есть величина постоянная, равная 2а .

у

b

M K

а F 1 O F 2 a x

b

Покажем это. Пусть точка
текущая точка эллипса. В этом случае получаем Тогда должно выполняться равенство

Выражение (3) представим в виде

и возведём в квадрат обе части выражения

Отсюда получаем

Еще раз возведём это выражение в квадрат и воспользуемся соотно-шением
, тогда

(4)

Разделив обе части выражения (4) на
, окончательно получаем каноническое уравнение эллипса

Исследуем уравнение (2). Если в уравнении заменить , то уравнение (2) не изменится. Это означает, что эллипс симметричен относительно координатных осей. Поэтому рассмотрим подробно часть эллипса, находящуюся в первой четверти. Она определяется уравнением
Очевидно, что эллипс проходит через точки
. Выполнив схематическое построение в первой четверти, симметрично отобразим его график во все четверти. Таким образом, эллипс является непрерывной замкнутой кривой. Точки называются вершинами эллипса.

Отношение
называется эксцентриситетом эллипса. Для эллипса
.

Прямые
называются директрисами эллипса.

Справедливо следующее свойство директрис :

Отношение расстояний от фокуса и директрисы для точек эллипса есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Доказывается аналогично, как и равенство (3).

Замечание 1. Окружность
является частным случаем эллипса. Для неё

3.2. Гипербола

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

т.е. в уравнении (1) нужно положить

Коэффициенты а и b называются соответственно вещественной и мнимой полуосями.

Положив
, отметим на оси Ох точки
на-зываемые
фокусами гиперболы. Тогда гиперболу можно определить как

геометрическое место точек, разность расстояний от которых до фокусов по абсолютной величине равна 2 а , т.е.


у

К М

F 1 —а О а F 2 х


Доказывается аналогично, как и для эллипса. По виду уравнения гиперболы так же заключаем, что её график симметричен относительно осей системы координат. Часть гиперболы, лежащая в первой четверти, имеет уравнение
Из этого уравнения видно, что при достаточно больших х гипербола близка к прямой
. После схематичного построения в первой четверти симметрично отобра-жаем график во все четверти.

Точки
называются вершинами гиперболы. Прямые
называются
асимптотами – это прямые, к которым стремятся ветви гиперболы, не пересекая их.

Отношение называется эксцентриситетом гиперболы. Для гиперболы
.

Прямые называются директрисами гиперболы. Для директрис гиперболы имеет место свойство, аналогичное, как и для директрис эллипса.

Пример. Найти уравнение эллипса, вершины которого находятся в фокусах, а фокусы в вершинах гиперболы
.

По условию
а

Окончательно получаем

10.3. Парабола

Парабола определяется каноническим уравнением
т.е. в уравнении (1) нужно положить

Коэффициент р называется К у

фокальным параметром. М

Отметим на оси Ох точку

называемую фокусом

 эллипс;

 парабола;

 гипербола .

Линии второго порядка.
Эллипс и его каноническое уравнение. Окружность

После основательной проработки прямых на плоскости продолжаем изучать геометрию двухмерного мира. Ставки удваиваются, и я приглашаю вас посетить живописную галерею эллипсов, гипербол, парабол, которые являются типичными представителями линий второго порядка . Экскурсия уже началась, и сначала краткая информация обо всей экспозиции на разных этажах музея:

Понятие алгебраической линии и её порядка

Линию на плоскости называют алгебраической , если в аффинной системе координат её уравнение имеет вид , где – многочлен, состоящий из слагаемых вида ( – действительное число, – целые неотрицательные числа).

Как видите, уравнение алгебраической линии не содержит синусов, косинусов, логарифмов и прочего функционального бомонда. Только «иксы» и «игреки» в целых неотрицательных степенях.

Порядок линии равен максимальному значению входящих в него слагаемых.

По соответствующей теореме, понятие алгебраической линии, а также её порядок не зависят от выбора аффинной системы координат , поэтому для лёгкости бытия считаем, что все последующие выкладки имеют место быть в декартовых координатах .

Общее уравнение линии второго порядка имеет вид , где – произвольные действительные числа ( принято записывать с множителем-«двойкой») , причём коэффициенты не равны одновременно нулю.

Если , то уравнение упрощается до , и если коэффициенты одновременно не равны нулю, то это в точности общее уравнение «плоской» прямой , которая представляет собой линию первого порядка .

Многие поняли смысл новых терминов, но, тем не менее, в целях 100%-го усвоения материала сунем пальцы в розетку. Чтобы определить порядок линии, нужно перебрать все слагаемые её уравнения и у каждого из них найти сумму степеней входящих переменных.

Например:

слагаемое содержит «икс» в 1-й степени;
слагаемое содержит «игрек» в 1-й степени;
в слагаемом переменные отсутствуют, поэтому сумма их степеней равна нулю.

Теперь разберёмся, почему уравнение задаёт линию второго порядка:

слагаемое содержит «икс» во 2-й степени;
у слагаемого сумма степеней переменных: 1 + 1 = 2;
слагаемое содержит «игрек» во 2-й степени;
все остальные слагаемые – меньшей степени.

Максимальное значение: 2

Если к нашему уравнению дополнительно приплюсовать, скажем, , то оно уже будет определять линию третьего порядка . Очевидно, что общий вид уравнения линии 3-го порядка содержит «полный комплект» слагаемых, сумма степеней переменных в которых равна трём:
, где коэффициенты не равны одновременно нулю.

В том случае, если добавить одно или несколько подходящих слагаемых, которые содержат , то речь уже зайдёт о линии 4-го порядка , и т.д.

С алгебраическими линиями 3-го, 4-го и более высоких порядков нам придется столкнуться ещё не раз, в частности, при знакомстве с полярной системой координат .

Однако вернёмся к общему уравнению и вспомним его простейшие школьные вариации. В качестве примеров напрашивается парабола , уравнение которой легко привести к общему виду , и гипербола с эквивалентным уравнением . Однако не всё так гладко….

Существенный недостаток общего уравнения состоит в том, что почти всегда не понятно, какую линию оно задаёт. Даже в простейшем случае не сразу сообразишь, что это гипербола. Такие расклады хороши только на маскараде, поэтому в курсе аналитической геометрии рассматривается типовая задача приведения уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду .

Что такое канонический вид уравнения?

Это общепринятый стандартный вид уравнения, когда в считанные секунды становится ясно, какой геометрический объект оно определяет. Кроме того, канонический вид очень удобен для решения многих практических заданий. Так, например, по каноническому уравнению «плоской» прямой , во-первых, сразу понятно, что это прямая, а во-вторых – элементарно просматривается принадлежащая ей точка и направляющий вектор .

Очевидно, что любая линия 1-го порядка представляет собой прямую. На втором же этаже нас ждёт уже не вахтёр, а гораздо более разнообразная компания из девяти статуй:

Классификация линий второго порядка

С помощью специального комплекса действий любое уравнение линии второго порядка приводится к одному из следующих видов:

( и – положительные действительные числа)

1) – каноническое уравнение эллипса;

2) – каноническое уравнение гиперболы;

3) – каноническое уравнение параболы;

4) – мнимый эллипс;

5) – пара пересекающихся прямых;

6) – пара мнимых пересекающихся прямых (с единственной действительной точкой пересечения в начале координат);

7) – пара параллельных прямых;

8) – пара мнимых параллельных прямых;

9) – пара совпавших прямых.

У ряда читателей может сложиться впечатление неполноты списка. Например, в пункте № 7 уравнение задаёт пару прямых , параллельных оси , и возникает вопрос: а где же уравнение , определяющее прямые , параллельные оси ординат? Ответ: оно не считается каноническим . Прямые представляют собой тот же самый стандартный случай , повёрнутый на 90 градусов, и дополнительная запись в классификации избыточна, поскольку не несёт ничего принципиально нового.

Таким образом, существует девять и только девять различных видов линий 2-го порядка, но на практике наиболее часто встречаются эллипс, гипербола и парабола .

Сначала рассмотрим эллипс. Как обычно, я акцентирую внимание на тех моментах, которые имеют большое значение для решения задач, и если вам необходим подробный вывод формул, доказательства теорем, пожалуйста, обратитесь, например, к учебнику Базылева/Атанасяна либо Александрова.

Эллипс и его каноническое уравнение

Правописание… пожалуйста, не повторяйте ошибок некоторых пользователей Яндекса, которых интересует «как построить эллибз», «отличие элипса от овала» и «эксцентриситет элебса».

Каноническое уравнение эллипса имеет вид , где – положительные действительные числа, причём . Само определение эллипса я сформулирую позже, а пока самое время отдохнуть от говорильни и решить распространённую задачу:

Как построить эллипс?

Да, вот взять его и просто начертить. Задание встречается часто, и значительная часть студентов не совсем грамотно справляются с чертежом:

Пример 1

Построить эллипс, заданный уравнением

Решение : сначала приведём уравнение к каноническому виду:

Зачем приводить? Одно из преимуществ канонического уравнения заключается в том, что оно позволяет моментально определить вершины эллипса , которые находятся в точках . Легко заметить, что координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению .

В данном случае :


Отрезок называют большой осью эллипса;
отрезок малой осью ;
число называют большой полуосью эллипса;
число малой полуосью .
в нашем примере: .

Чтобы быстро представить, как выглядит тот или иной эллипс достаточно посмотреть на значения «а» и «бэ» его канонического уравнения.

Всё ладно, складно и красиво, но есть один нюанс: я выполнил чертёж с помощью программы . И вы можете выполнить чертёж с помощью какого-либо приложения. Однако в суровой действительности на столе лежит клетчатый листок бумаги, и на наших руках водят хороводы мыши. Люди с художественным талантом, конечно, могут поспорить, но мыши есть и у вас тоже (правда, поменьше). Таки не зря человечество изобрело линейку, циркуль, транспортир и другие нехитрые приспособления для черчения.

По этой причине нам вряд ли удастся аккуратно начертить эллипс, зная одни вершины. Ещё куда ни шло, если эллипс небольшой, например, с полуосями . Как вариант, можно уменьшить масштаб и, соответственно, размеры чертежа. Но в общем случае крайне желательно найти дополнительные точки.

Существует два подхода к построению эллипса – геометрический и алгебраический. Построение с помощью циркуля и линейки мне не нравится по причине не самого короткого алгоритма и существенной загроможденности чертежа. В случае крайней необходимости, пожалуйста, обратитесь к учебнику, а в реальности же гораздо рациональнее воспользоваться средствами алгебры. Из уравнения эллипса на черновике быстренько выражаем:

Далее уравнение распадается на две функции:
– определяет верхнюю дугу эллипса;
– определяет нижнюю дугу эллипса.

Заданный каноническим уравнением эллипс симметричен относительно координатных осей, а также относительно начала координат . И это отлично – симметрия почти всегда предвестник халявы. Очевидно, что достаточно разобраться с 1-й координатной четвертью, поэтому нам потребуется функция . Напрашивается нахождение дополнительных точек с абсциссами . Настукаем три смс-ки на калькуляторе:

Безусловно, приятно и то, что если допущена серьёзная ошибка в вычислениях, то это сразу выяснится в ходе построения.

Отметим на чертеже точки (красный цвет), симметричные точки на остальных дугах (синий цвет) и аккуратно соединим линией всю компанию:


Первоначальный набросок лучше прочертить тонко-тонко, и только потом придать нажим карандашу. В результате должен получиться вполне достойный эллипс. Кстати, не желаете ли узнать, что это за кривая?

Определение эллипса. Фокусы эллипса и эксцентриситет эллипса

Эллипс – это частный случай овала. Слово «овал» не следует понимать в обывательском смысле («ребёнок нарисовал овал» и т.п.). Это математический термин, имеющий развёрнутую формулировку. Целью данного урока не является рассмотрение теории овалов и различных их видов, которым практически не уделяется внимания в стандартном курсе аналитической геометрии. И, в соответствии с более актуальными потребностями, мы сразу переходим к строгому определению эллипса:

Эллипс – это множество всех точек плоскости, сумма расстояний до каждой из которых от двух данных точек , называемых фокусами эллипса, – есть величина постоянная, численно равная длине большой оси этого эллипса: .
При этом расстояния между фокусами меньше данного значения: .

Сейчас станет всё понятнее:

Представьте, что синяя точка «ездит» по эллипсу. Так вот, какую бы точку эллипса мы ни взяли, сумма длин отрезков всегда будет одной и той же:

Убедимся, что в нашем примере значение суммы действительно равно восьми. Мысленно поместите точку «эм» в правую вершину эллипса, тогда: , что и требовалось проверить.

На определении эллипса основан ещё один способ его вычерчивания. Высшая математика, порой, причина напряжения и стресса, поэтому самое время провести очередной сеанс разгрузки. Пожалуйста, возьмите ватман либо большой лист картона и приколотите его к столу двумя гвоздиками. Это будут фокусы . К торчащим шляпкам гвоздей привяжите зелёную нитку и до упора оттяните её карандашом. Гриф карандаша окажется в некоторой точке , которая принадлежит эллипсу. Теперь начинайте вести карандаш по листу бумаги, сохраняя зелёную нить сильно натянутой. Продолжайте процесс до тех пор, пока не вернётесь в исходную точку… отлично… чертёж можно сдать на проверку врачу преподавателю =)

Как найти фокусы эллипса?

В приведённом примере я изобразил «готовенькие» точки фокуса, и сейчас мы научимся добывать их из недр геометрии.

Если эллипс задан каноническим уравнением , то его фокусы имеют координаты , где – это расстояние от каждого из фокусов до центра симметрии эллипса .

Вычисления проще пареной репы:

! Со значением «цэ» нельзя отождествлять конкретные координаты фокусов! Повторюсь, что – это РАССТОЯНИЕ от каждого из фокусов до центра (который в общем случае не обязан располагаться именно в начале координат).
И, следовательно, расстояние между фокусами тоже нельзя привязывать к каноническому положению эллипса. Иными словами, эллипс можно перенести в другое место и значение останется неизменным, в то время как фокусы, естественно, поменяют свои координаты. Пожалуйста, учитывайте данный момент в ходе дальнейшего изучения темы.

Эксцентриситет эллипса и его геометрический смысл

Эксцентриситетом эллипса называют отношение , которое может принимать значения в пределах .

В нашем случае:

Выясним, как форма эллипса зависит от его эксцентриситета. Для этого зафиксируем левую и правую вершины рассматриваемого эллипса, то есть, значение большой полуоси будет оставаться постоянным. Тогда формула эксцентриситета примет вид: .

Начнём приближать значение эксцентриситета к единице. Это возможно только в том случае, если . Что это значит? …вспоминаем про фокусы . Это значит, что фокусы эллипса будут «разъезжаться» по оси абсцисс к боковым вершинам. И, поскольку «зелёные отрезки не резиновые», то эллипс неизбежно начнёт сплющиваться, превращаясь всё в более и более тонкую сосиску, нанизанную на ось .

Таким образом, чем ближе значение эксцентриситета эллипса к единице, тем эллипс более продолговат .

Теперь смоделируем противоположный процесс: фокусы эллипса пошли навстречу друг другу, приближаясь к центру. Это означает, что значение «цэ» становится всё меньше и, соответственно, эксцентриситет стремится к нулю: .
При этом «зелёным отрезкам» будет, наоборот – «становиться тесно» и они начнут «выталкивать» линию эллипса вверх и вниз.

Таким образом, чем ближе значение эксцентриситета к нулю, тем эллипс больше похож на … смотрим предельный случай , когда фокусы успешно воссоединились в начале координат:

Окружность – это частный случай эллипса

Действительно, в случае равенства полуосей каноническое уравнение эллипса принимает вид , который рефлекторно преобразуется к – хорошо известному из школы уравнению окружности с центром в начале координат радиуса «а».

На практике чаще используют запись с «говорящей» буквой «эр»: . Радиусом называют длину отрезка , при этом каждая точка окружности удалена от центра на расстояние радиуса.

Заметьте, что определение эллипса остаётся полностью корректным: фокусы совпали , и сумма длин совпавших отрезков для каждой точки окружности – есть величина постоянная. Так как расстояние между фокусами , то эксцентриситет любой окружности равен нулю .

Строится окружность легко и быстро, достаточно вооружиться циркулем. Тем не менее, иногда бывает нужно выяснить координаты некоторых её точек, в этом случае идём знакомым путём – приводим уравнение к бодрому матановскому виду:

– функция верхней полуокружности;
– функция нижней полуокружности.

После чего находим нужные значения, дифференцируем , интегрируем и делаем другие хорошие вещи.

Статья, конечно, носит справочный характер, но как на свете без любви прожить? Творческое задание для самостоятельного решения

Пример 2

Составить каноническое уравнение эллипса, если известен один из его фокусов и малая полуось (центр находится в начале координат). Найти вершины, дополнительные точки и изобразить линию на чертеже. Вычислить эксцентриситет.

Решение и чертёж в конце урока

Добавим экшена:

Поворот и параллельный перенос эллипса

Вернёмся к каноническому уравнению эллипса , а именно, к условию , загадка которого терзает пытливые умы ещё со времён первого упоминания о данной кривой. Вот мы рассмотрели эллипс , но разве на практике не может встретиться уравнение ? Ведь здесь , однако, это вроде бы как тоже эллипс!

Подобное уравнение нечасто, но действительно попадается. И оно действительно определяет эллипс. Развеем мистику:

В результате построения получен наш родной эллипс, повёрнутый на 90 градусов. То есть, – это неканоническая запись эллипса . Запись! – уравнение не задаёт какой-то другой эллипс, поскольку на оси не существует точек (фокусов), которые бы удовлетворяли определению эллипса.

1. Линии второго порядка на евклидовой плоскости.

2. Инварианты уравнений линий второго порядка.

3. Определение вида линий второго порядка по инвариантам ее уравнения.

4. Линии второго порядка на аффинной плоскости. Теорема единственности.

5. Центры линий второго порядка.

6. Асимптоты и диаметры линий второго порядка.

7. Привидение уравнений линий второго порядка к простейшему.

8. Главные направления и диаметры линий второго порядка.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ


1. Линии второго порядка в евклидовой плоскости.

Определение:

Евклидова плоскость – это пространство размерности 2,

(двумерное вещественное пространство).

Линии второго порядка представляют собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.

Эти линии часто встречаются в различных вопросах естествознания. Например, движение материальной точки под воздействием центрального поля силы тяжести проис­ходит по одной из этих линий.

Если секущая плоскость пересекает все прямолинейные образующие одной полости конуса, то в сечении получится ли­ния, называемая эллипсом (рис. 1.1,а). Если секущая плоскость пересекает образующие обеих полостей конуса, то в сечении по­лучится линия, называемая гиперболой (рис. 1.1,6). И, наконец, если секущая плоскость параллельна одной из образующих ко­нуса (на 1.1, в - это образующая АВ), то в сечении получится линия, называемая параболой. Рис. 1.1 дает наглядное представление о форме рассматриваемых линий.

Рисунок 1.1

Общее уравнение линии второго порядка имеет следующий вид:

(1)

(1*)

Эллипсом называется множесво точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F 1 и F 2 этой плоскости, называемых фо­кусами, есть величина постоянная.

При этом не исключается совпадение фокусов эллипса. Оче­видно, если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.

Для вывода канонического уравнения эллипса выберем на­чало О декартовой системы координат в середине отрезка F 1 F 2 , а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 1.2 (если фокусы F 1 и F 2 совпадают, то О совпадает с F 1 и F 2 , а за ось Ох можно взять лю­бую ось, проходящую через О).

Пусть длина отрезка F 1 F 2 F 1 и F 2 соответствен­но имеют координаты (-с, 0) и (с, 0). Обозначим через постоян­ную, о которой говорится в опреде­лении эллипса. Очевидно, 2а > 2с, т. е. а > с (Если М - точка эллипса (см. рис. 1.2), то | MF ] |+ | MF 2 | = 2 a , а так как сумма двух сторон MF 1 и MF 2 треугольника MF 1 F 2 больше третьей стороны F 1 F 2 = 2c, то 2а > 2с. Случай 2а = 2с естественно исключить, так как тогда точка М располагается на отрезке F 1 F 2 и эллипс вырождается в отрезок.).

Пусть М (х, у) (рис. 1.2). Обозначим через r 1 и r 2 расстояния от точки М до точек F 1 и F 2 соответственно. Со­гласно определению эллипса равенство

r 1 + r 2 = 2а (1.1)

является необходимым и достаточным условием расположения точки М (х, у) на данном эллипсе.

Используя формулу расстояния между двумя точками, получим

(1.2)

Из (1.1) и (1.2) вытекает, что соотношение

(1.3)

представляет собой необходимое и достаточное условие распо­ложения точки М с координатами х и у на данном эллипсе. По­этому соотношение (1.3) можно рассматривать как уравнение эллипса. Путем стандартного приема «уничтожения радикалов» это уравнение приводится к виду

(1.4) (1.5)

Так как уравнение (1.4) представляет собой алгебраическое следствие уравнения эллипса (1.3), то координаты х и у любой точки М эллипса будут удовлетворять и уравнению (1.4). По­скольку при алгебраических преобразованиях, связанных с изба­влением от радикалов, могли появиться «лишние корни», мы дол­жны убедиться в том, что любая точка М, координаты которой удовлетворяют уравнению (1.4), располагается на данном эллипсе. Для этого, очевидно, достаточно доказать, что величи­ны r 1 и r 2 для каждой точки удовлетворяют соотношению (1.1). Итак, пусть координаты х и у точки М удовлетворяют уравне­нию (1.4). Подставляя значение у 2 из (1.4) в правую часть вы­ражения (1.2) для г 1 после несложных преобразований найдем, чтоСовершенно аналогично найдем, что (1.6)

т. е.r 1 + r 2 = 2а, и поэтому точка М располагается на эллипсе. Уравнение (1.4) называется каноническим уравнением эллипса. Величины а и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса (наименование «большая» и «малая» объяс­няется тем, что а>Ь).

Замечание . Если полуоси эллипса а и b равны, то эллипс представляет собой окружность, радиус которой равен R = a = b , а центр совпадает с началом координат.

Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых абсолютная величина раз­ности расстояний до двух фиксированных точек, F 1 и F 2 этой пло­скости, называемых фокусами, есть величина постоянная (Фокусы F 1 и F 2 гиперболы естественно считать различными, ибо если указанная в определении гиперболы постоянная не равна нулю, то нет ни одной точки плоскости при совпаденииF 1 и F 2 , которая бы удовлетворяла требованиям определения гиперболы. Если же эта постоянная равна нулю и F 1 совпадает с F 2 , то любая точка плоскости удовлетворяет требованиям определения гиперболы.).

Для вывода канонического уравнения гиперболы выберем начало координат в середине отрезка F 1 F 2 , а оси Ох и Оу на­правим так, как указано на рис. 1.2. Пусть длина отрезка F 1 F 2 равна 2с. Тогда в выбранной системе координат точки F 1 и F 2 соответственно имеют координаты (-с, 0) и (с, 0) Обозначим через 2а постоянную, о которой говорится в определении гипер­болы. Очевидно, 2a< 2с, т. е. a < с.

Пусть М - точка плоскости с координатами (х, у) (рис. 1,2). Обозначим через r 1 и r 2 расстояния MF 1 и MF 2 . Согласно опре­делению гиперболы равенство

(1.7)

является необходимым и достаточным условием расположения точки М на данной гиперболе.

Используя выражения (1.2) для r 1 и r 2 и соотношение (1.7), получим следующее необходимое и достаточное условие распо­ложения точки М с координатами х и у на данной гиперболе:

. (1.8)

Используя стандартный прием «уничтожения радикалов», приве­дем уравнение (1.8) к виду

(1.9) (1.10)

Мы должны убедиться в том, что уравнение (1.9), получен­ное путем алгебраических преобразований уравнения (1.8), не приобрело новых корней. Для этого достаточно доказать, что для каждой точки М, координаты х и у которой удовлетворяют уравнению (1.9), величины r 1 и r 2 удовлетворяют соотношению (1.7). Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые были сделаны при выводе формул (1.6), найдем для интересующих нас величин r 1 и r 2 следующие выражения:

(1.11)

Таким образом, для рассматриваемой точки М имеем

, и поэтому она располагается на гиперболе.

Уравнение (1.9) называется каноническим уравнением ги­перболы. Величины а и b называются соответственно действи­тельной и мнимой полуосями гиперболы.

Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до не­которой фиксированной прямой, также расположенной в рас­сматриваемой плоскости.

В декартовых координатах уравнение первой степени определяет некоторую прямую.

Линии, которые в декартовых координатах определяются уравнением первой степени, называются линиями первого порядка. Следовательно, каждая прямая есть линия первого порядка.

Общее уравнение прямой (как общее уравнение первой степени) определяется уравнением вида:

Ах + Ву + С = 0.

Рассмотрим неполные уравнения прямой.

1. С = 0. Уравнение прямой имеет вид: Ах + Ву = 0; прямая проходит через начало координат.

2. В = 0 (А ¹ 0). Уравнение имеет вид Ах + С = 0 или х = а , где а = Прямая проходит через точку А (а ; 0),она параллельна оси Оу . Число а Ох (рис. 1).

Рис. 1

Если а = 0, то прямая совпадает с осью Оу . Уравнение оси ординат Оу имеет вид : х = 0.

3. А = 0 (В ¹ 0). Уравнение имеет вид: Ву + С = 0 или у = b , где b = . Прямая проходит через точку В (0; b ),она параллельна оси Ох . Число b есть величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу (рис. 2).

Рис. 2


Если b = 0, то прямая совпадает с осью абсцисс Ох. Уравнение оси абсцисс Ох имеет вид: у = 0.

Уравнение прямой в отрезках на осях определяется уравнением:

Где числа а и b являются величинами отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях (рис. 3).

(х 0 ; у 0) перпендикулярно нормальному вектору = {A ; B }, определяется по формуле:

А (х х 0) + В (у у 0) = 0.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М (х 0 ; у 0) параллельно направляющему вектору = {l ; m }, имеет вид:

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М 1 (х 1 ; у 1) и М 2 (х 2 ; у 2), определяется уравнением:

Угловым коэффициентом прямой k называется тангенс угла наклона прямой к оси Ох , который отсчитывается от положительного направления оси к прямой против часовой стрелки, k = tgα.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет вид:

у = kх + b ,

где k = tgα, b – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Оу (рис. 4).

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М (х 0 ; у 0) в данном направлении (угловой коэффициент k известен), определяется по формуле:

у – у 0 = k (х х 0).

Уравнение пучка прямых, проходящих через данную точку М (х 0 ; у 0) (угловой коэффициент k неизвестен), определяется по формуле:

у – у 0 = k (х х 0).


Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения прямых

А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 и А 2 х + В 2 у + С 2 = 0, определяется по формуле:

α(А 1 х + В 1 у + С 1) + β(А 2 х + В 2 у + С 2) = 0.

Угол j, отсчитанный против часовой стрелки от прямой у = k 1 х + b 1 к прямой у = k 2 х + b 2 , определяется формулой (рис. 5):


Для прямых, заданных общими уравнениями А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 и А 2 х + В 2 у + С 2 = 0, угол между двумя прямыми определяется по формуле:

Условие параллельности двух прямых имеет вид : k 1 = k 2 или .

Условие перпендикулярности двух прямых имеет вид : или А 1 А 2 + В 1 В 2 = 0.

Нормальное уравнение прямой имеет вид :

x cosα + y sinα – p = 0,

где p – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, α – угол наклона перпендикуляра к положительному направлению оси Ох (рис. 6).


Чтобы привести общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 к нормальному виду, нужно все его члены умножить на нормирующий множитель μ = , взятый со знаком, противоположным знаку свободного члена С .

Расстояние от точки М (х 0 ; у 0) до прямой Ах + Ву + С = 0 определяется по формуле:

Уравнения биссектрис углов между прямыми А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 и А 2 х + В 2 у + С 2 = 0 имеют вид:

Пример 4 . Даны вершины треугольника АВС : А (–5; –7), В (7; 2), С (–6; 8). Найти: 1) длину стороны АВ ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол В ; 4) уравнение медианы АЕ ; 5) уравнение и длину высоты СD ; 6) уравнение биссектрисы АК ; 7) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ ; 8) координаты точки М , расположенной симметрично точке А относительно прямой СD .

1. Расстояние d между двумя точками А (х 1 ; у 1) и В (х 2 ; у 2) определяется по формуле:

Найдем длину стороны АВ как расстояние между двумя точками А (–7; –8) и В (8; –3):

2. Уравнение прямой, проходящей через точки А (х 1 ; у 1) и В (х 2 ; y 2), имеет вид:

Подставляя координаты точек А и В , получим уравнение стороны АВ :

3(х + 5) = 4(у + 7); 3х – 4у – 13 = 0 ().

Для нахождения углового коэффициента k AB прямой (АВ ) разрешим полученное уравнение относительно у :

4y = 3x – 13;

– уравнение прямой (АВ )с угловым коэффициентом,

Аналогично подставляя координаты точек В и С , получим уравнение прямой (ВС ):

6х – 42 = –13у + 26; 6x + 13y – 68 = 0 (BC ).

Разрешим уравнение прямой (ВС )относительно у : .

3. Тангенс угла j между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны k 1 и k 2­ , определяется по формуле:

Внутренний угол В образован прямыми (АВ ) и (ВС ), причем это острый угол, на который надо повернуть прямую ВС в положительном направлении (против часовой стрелки) до ее совпадения с прямой (АВ ). Поэтому подставим в формулу k 1 = , k 2 = :

ÐВ = arctg = arctg 1,575 » 57,59°.

4. Чтобы найти уравнение медианы (АЕ ), определим сначала координаты точки Е, которая является серединой стороны ВС. Для этого применим формулы деления отрезка на две равные части:

Следовательно, точка Е имеет координаты: Е (0,5; 5).

Подставляя в уравнение прямой, проходящей через две точки, координаты точек А и Е , находим уравнение медианы (АЕ ):

24х – 11у + 43 = 0 (АЕ ).

5. Так как высота CD перпендикулярна стороне АВ , то прямая (АВ )перпендикулярна прямой (CD ). Для нахождения углового коэффициента высоты CD, воспользуемся усло­вием перпендикулярности двух прямых:

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М (х 0 ; у 0) в заданном направлении (угловой коэффициент k известен), имеет вид:

y – у 0 = k (x – x 0).

Подставляя в последнее уравнение координаты точки С (–6; 8) и , получим уравнение высоты CD :

у – 8 = (х – (–6)), 3у – 24 = – 4х – 24, 4х + 3у = 0 (CD ).

Расстояние от точки М (х 0 ; у 0) до прямой Аx + By+C = 0 определяется по формуле:

Длину высоты CD найдем как расстояние от точки С (–6; 8) до прямой (АВ ): 3х – 4у – 13. Подставляя в формулу необходимые величины, найдем длину CD :

6. Уравнения биссектрис углов между прямыми Аx + By+ C = 0 и
А
1 x + B 1 y+ C 1 = 0 определяются по формуле:

Уравнение биссектрисы АК найдем как одно из уравнений биссектрис углов между прямыми (АВ )и (АС ).

Составим уравнение прямой (АС ) как уравнение прямой, проходящей через две точки А (–5; –7) и С (–6; 8):

Преобразуем последнее уравнение:

15(х + 5) = – (у + 7); 15х + у + 82 = 0 ().

Подставляя коэффициенты из общих уравнений прямых (АВ )и (АС ), получим уравнения биссектрис углов:

Преобразуем последнее уравнение:

; (3х – 4у – 13) = ± 5 (15х + у + 82);

3 х – 4 у – 13 = ± (75х +5у + 410).

Рассмотрим два случая:

1) 3 х – 4 у – 13 = 75х +5у + 410.у l АВ .

Треугольник АВС, высота CD , медиана АЕ , биссектриса АК , прямая l и точка М построены в системе координат Оху (рис.7).



Предыдущая статья: Следующая статья:

© 2015 .
О сайте | Контакты
| Карта сайта